\chapter{1747年，丹尼尔·伯努利弦振动方程解的推导研究}
	
	\begin{abstract}
		本文详细分析了丹尼尔·伯努利在1747年对弦振动方程解的推导过程。伯努利首次提出了将弦振动表示为正弦级数展开的形式，这一开创性工作为偏微分方程理论的发展奠定了基础。本文重现了伯努利的原始推导方法，并讨论了其在数学物理史上的重要意义。
		
		\textbf{关键词}：弦振动方程；丹尼尔·伯努利；分离变量法；傅里叶级数；数学物理方程
	\end{abstract}
	
	\section{引言}
	1747年，著名数学家丹尼尔·伯努利(Daniel Bernoulli, 1700-1782)在研究弦振动问题时，提出了一种革命性的解法。这一工作不仅解决了当时困扰数学物理界的难题，更为后来的傅里叶分析埋下了伏笔。
	
	尽管达朗贝尔(d'Alembert)和欧拉(Euler)也独立研究了该问题，但伯努利的解法因其独特的物理直观性和数学简洁性而独具特色。
	
	\section{伯努利的弦振动模型}
	\subsection{物理模型建立}
	伯努利考虑了一根长度为$L$，两端固定的均匀弦，其横向位移$u(x,t)$满足以下偏微分方程：
	
	\begin{equation}
		\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}
	\end{equation}
	
	其中$c = \sqrt{T/\rho}$，$T$为弦的张力，$\rho$为线密度。
	
	\subsection{边界条件}
	两端固定给出边界条件：
	\begin{align}
		u(0,t) &= 0 \\
		u(L,t) &= 0
	\end{align}
	
	\section{伯努利的解法}
	\subsection{分离变量假设}
	伯努利假设解可以表示为空间和时间函数的乘积：
	\begin{equation}
		u(x,t) = X(x)T(t)
	\end{equation}
	
	将其代入方程(1)得到：
	\begin{equation}
		\frac{T''(t)}{c^2 T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)} = -\lambda
	\end{equation}
	
	\subsection{空间方程的解}
	空间部分的方程成为特征值问题：
	\begin{equation}
		X'' + \lambda X = 0
	\end{equation}
	
	结合边界条件(2)(3)，得到特征值和特征函数：
	\begin{align}
		\lambda_n &= \left(\frac{n\pi}{L}\right)^2 \\
		X_n(x) &= \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right), \quad n=1,2,3,...
	\end{align}
	
	\subsection{时间方程的解}
	对应每个特征值$\lambda_n$，时间方程为：
	\begin{equation}
		T''_n + c^2\lambda_n T_n = 0
	\end{equation}
	
	其解为简谐振动：
	\begin{equation}
		T_n(t) = A_n\cos\left(\frac{cn\pi t}{L}\right) + B_n\sin\left(\frac{cn\pi t}{L}\right)
	\end{equation}
	
	\subsection{级数解的综合}
	伯努利将特解叠加，得到一般解：
	\begin{equation}
		u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\left[A_n\cos\left(\frac{cn\pi t}{L}\right) + B_n\sin\left(\frac{cn\pi t}{L}\right)\right]
	\end{equation}
	
	这一表达式正是现代所称的"傅里叶正弦级数"，尽管傅里叶的工作要晚约60年。
	
	\section{历史意义与讨论}
	伯努利的解法具有以下重要贡献：
	\begin{itemize}
		\item 首次展示了如何用无穷级数表示偏微分方程的解
		\item 预示了特征函数展开方法的发展
		\item 为后来的傅里叶分析提供了思想源泉
		\item 建立了数学物理问题的标准解法范式
	\end{itemize}
	
	然而，伯努利与欧拉、达朗贝尔关于解的"一般性"的争论持续多年，直到19世纪傅里叶的工作才最终解决。
	
	\section{结论}
	丹尼尔·伯努利1747年对弦振动问题的研究是数学物理史上的里程碑。他提出的级数解法不仅解决了具体问题，更开创了分析偏微分方程的新途径。这一工作体现了数学物理中"分离变量"思想的强大威力，对后世影响深远。
	
	\begin{thebibliography}{9}
		\bibitem{bernoulli1747} Bernoulli D. (1747). {\it Réflexions et éclaircissements sur les nouvelles vibrations des cordes}. Mémoires de l'Académie Royale des Sciences, Berlin.
		
		\bibitem{cannon1969} Cannon J.T. (1969). {\it The Vibrating String Controversy}. Amer. J. Phys., 37:932-937.
		
		\bibitem{stikhin2007} Стихин Я.И. (2007). {\it История математики: от создания строки до теории струн}. Москва: Наука.
	\end{thebibliography}
	